德国第二伟大的数学家雅克比，在椭圆函数中发现了数学新大陆

卡尔·古斯塔夫·雅各比于1804年12月10日出生在德国普鲁士的波茨坦他是银行家西蒙·雅各比的次子

年轻的雅各比在数学上的发展和他的对手阿贝尔在某些方面是一样的雅各比也研究大师的作品，从欧拉和拉格朗日的著作中，他学习了代数，分析和数论通过自学，Jacoby在椭圆函数方面做出了突出的贡献就计算能力而言，除了印度数学天才拉玛努金，没有人能比得上欧拉和雅可比与雅各比相比，阿贝尔的才华多了哲学元素，少了形式元素阿贝尔在坚持严格性上比雅各比更接近高斯

亚伯比雅各布大两岁雅各布不知道阿贝尔在1820年解出了一般的五次方程同年，他试图得到一种解法，将一般的五次方程简化为如下形式

指出该方程的解可以由一个十次方程的解推导出来虽然这次尝试失败了，但是雅各比从中学到了很多代数知识，他认为这是他数学教育中非常重要的一步但他似乎并不认为一般的五次方程可能无法像阿贝尔那样用代数方法求解这种疏忽，或者说缺乏想象力，是雅各比和亚伯的典型区别

从1821年4月到1825年5月，雅各比在柏林上大学前两年，他把时间平均花在哲学，语言学和数学上在数学方面，雅各比继续自学大师们的作品他恰如其分地将大学的数学讲座描述为一派胡言

亚伯

亚伯在1823年8月4日写信给霍尔姆波，说他正忙于研究椭圆函数。

这个小作品涉及到椭圆超越函数的反函数，我证明了一些看似不可能的事情，我让德根从头到尾浏览了一遍，他找不到错误的结论，也不知道错在哪里天知道我怎样才能解放自己

一个奇怪的巧合是，当雅各比最终下定决心投身于数学的时候，几乎就是阿贝尔写这封信的时候阿贝尔开了个好头，但雅各比很快就赶上了雅各比的第一部巨著是关于椭圆函数的

数学生涯

1825年8月，雅各比获得哲学博士学位获得学位后，雅各比在柏林大学教授微积分在曲面和空间曲线上的应用开始的几堂课清楚地表明，雅各比是一位非常有才华的老师后来，他成了当时最受欢迎的数学老师

柏林大学

雅各比似乎是第一个这样做的数学老师:他教授自己的最新发现，向学生展示新的学科在他们面前被创造出来，并训练学生做研究工作他认为把年轻学生扔进冰水里，让他们自己去学游泳或者淹死是对的许多学生不会尝试独立工作，直到他们掌握了其他人所做的和他们的问题相关的一切因此，只有少数人养成了独立工作的习惯

如果你父亲坚持要在和一个女孩结婚之前认识世界上所有的女孩，那他永远也不会结婚。

雅各比仅在半年后就获得了柏林大学的讲师职位，1826年，他获得了哥尼斯堡大学的讲师职位一年后，雅各比发表了一些关于数论的研究成果，得到了高斯的赞扬由于高斯不是一个容易惊慌的人，教育部立即注意到了这件事，并将雅各比提升为副教授两年后，当比发表了他的第一部代表作《椭圆函数论的新基础》

1832年，雅各比的父亲去世1840年，这个家族破产了36岁时，雅各比一无所有，不得不赡养母亲，因为母亲也破产了可是，经济困难丝毫没有影响雅各比的数学像往常一样，他继续勤奋学习1842年，雅各比和贝塞尔在曼彻斯特参加了一个会议，在那里德国的雅各比遇到了爱尔兰的汉密尔顿雅各比了解了汉密尔顿在动力学方面的工作，促进了动力学的发展，这是雅各比最大的荣耀之一

椭圆函数

雅各比的第一部巨著是椭圆函数椭圆函数只是简单复变函数论的一个细节简单复变函数论是19世纪数学的一个主要领域高斯曾经指出，每一个代数方程都有复数根

复数最早出现在一些方程的解中，比如x 2+1 = 0因式分解也会遇到复数，比如分解X 2+Y 2

进一步，试着把x ^ 2+y ^ 2+z ^ 2分解成两个线性因子这样，正数，负数，虚数就够了换句话说，你需要发明一些新的数字来解决这个问题吗人们发现，为了得到必要的新数，一般的代数规则因为一个重要的细节而解体:数的乘法阶数无关紧要的规则不再成立，也就是说，对于新的数字，a×b等于b×a不再有效这说明初等代数的因式分解把我们引向了复数不适用的领域

如果我们坚持所有普通的代数定律对这些数都成立，我们能走多远最普遍的可能数字是多少19世纪下半叶，证明了复数x+iy是使普通代数成立的最一般的数笛卡儿几何中函数f的图形为我们提供了实变量x的函数y的图形，如果把应用于这些函数的普通代数和推广微积分应用于复数，早期分析者发现的东西有一半以上会有问题，尤其是积分学中许多令人费解的不规则性，只有在高斯和柯西采用复变函数时才能消除

在椭圆函数理论中，不可避免地会出现复数高斯，阿贝尔和雅各比通过他们对这一理论的广泛而详细的阐述，为发现和改进简单复变函数论的一般定理提供了一个实验园地这两种理论似乎注定要相互补充和完善——这是有原因的，椭圆函数与高斯定理在二次型上的深刻联系但是对空间的考虑迫使我们放弃了二次型的理论椭圆函数中那些范围较广的定理的特例为一般理论提供了许多线索没有这些线索，简单复变函数的理论发展会比实际发展慢很多

椭圆函数的历史相当复杂，普通读者不太可能感兴趣因此，我们简单总结一下高斯，雅各比和勒让德的交流

首先，确实高斯早在27年前就预见到了亚伯和雅各比的一些最惊人的发现高斯确实说过，亚伯在1798年走了和我一样的路其次，人们似乎一致认为亚伯在一些重要细节上领先于雅各比，但雅各比在完全不了解亚伯工作的情况下做出了他的伟大发现

椭圆函数的一个重要性质是它的双周期性:如果E是椭圆函数，那么有两个特殊的数，如P1和p2，使得

变量x的所有值都成立。

最后，就历史而言，勒让德研究椭圆积分40年，却没有注意到阿贝尔和雅各比几乎立刻看到的东西，即只要他把自己的观点反过来，整个问题就会变得极其简单椭圆积分最早出现在求椭圆弧长的问题中

设R表示T的多项式，如果R是三次或四次的，则形式为

的积分称为椭圆积分，如果r的次数大于4，这个积分就叫做阿贝尔积分如果r只是二次型，那么积分可以很容易地用初等函数计算出来

也就是说，如果

我们认为积分的上限x是积分本身的函数这个问题的反演解决了勒让德奋斗了40年的大部分困难在消除了这个障碍之后，这些重要积分的真正理论几乎是自行出现的

与阿贝尔共同创建椭圆函数理论只是雅各比巨大工作量中的一小部分，但却是非常重要的一部分先简单提一下他做过的其他几部巨著

其他成就

Jacoby是第一个将椭圆函数理论应用于数论的人数论是一门奇妙而深奥的学科，复杂而巧妙的代数，会意外地揭示普通整数之间迄今为止意想不到的关系雅各比是这样证明费马大猜想的:每个整数都是四个整数的平方和此外，他知道任何已知的整数有多少种方法可以表示成这样的和

在动力学方面，雅可比超越了拉格朗日和汉密尔顿，取得了在应用科学和数学物理两方面都具有根本重要性的第一个重大进展熟悉量子力学的读者会记得汉密尔顿—雅可比方程在这一革命性理论中发挥的重要作用

在代数中，只需要提到众多事物中的一个，那就是Jacoby把行列式理论简化成每个中学学代数的学生都熟悉的简单形式。

对于牛顿—拉普拉斯—拉格朗日引力理论，雅各比研究了该理论中反复出现的函数，并将椭圆函数和阿贝尔函数应用于椭球之间的引力，从而对引力理论做出了巨大贡献。

他在阿贝尔函数上的伟大发现更具独创性这样的函数在阿贝尔积分的反演中生成，就像椭圆函数在椭圆积分的反演中生成一样他没办法跟到这里很长一段时间，他在毫无头绪的迷宫中迷失了方向在最简单的情况下，合适的反函数是具有四个周期的两个变量的函数一般来说，这些函数有n个变量和2n个周期椭圆函数相当于n=1这个发现对于19世纪的分析就像哥伦布发现美洲对于15世纪的地理学一样

傅立叶指责阿贝尔和雅各比把时间浪费在椭圆函数上，没有解决热传导中的一些未解决的问题。雅各比说:

傅立叶先生确实有这样的观点，数学的主要目的是大众的需要和对自然现象的解释，但是像他这样的哲学家应该知道科学的唯一目的是人类思想的光辉，应该知道从这个角度来看，数的问题和关于宇宙体系的问题具有同等的价值。

今天，就数学物理而言，傅立叶的分析只是一个更广泛的边值理论问题的细节傅立叶发明的分析方法在纯数学的最纯粹部分找到了它的意义和正当性这些现代研究人员是否为人类思维增添了光彩，可能要留给专家们去调查了

雅各比47岁时死于天花。